Ανάπτυγμα σε σειρές

Σειρές Taylor


          Clear["Global`*"]
f[x_] := x^2 + 5 Sin[x]
Series[f[x], {x, Pi, 10}]
Series[f[x], {x, 0, 10}]

Χρήση μέρους σειράς ως συνάρτηση.


           Normal[Series[f[x], {x, 0, 10}]]
fs10 = Normal[Series[f[x], {x, 0, 10}]];
fs[x_] := Evaluate[fs10]
fs[2 x]
fs[3]


           fsN[n_] := Normal[Series[f[x], {x, 0, n}]];
functList = Table[fsN[n], {n, 1, 4}]
Plot[{f[x], Evaluate[functList]}, {x, -6, 6}, PlotLegends -> functList]

Σειρές Fourier

Αυτόματη σειρά


           Clear["Global`*"]
(*Πρέπει να 'χει συμμετρία περί του 0 το πεδίο ορισμού*)
f[x_] := Which[-3 < x <= 2, x^2, 2 < x < 3, 2 x + 2]
periodos = 6;
fH = FourierTrigSeries[f[x], x, 10, FourierParameters -> {1, 2 Pi/periodos}]
fHat[x_] := Evaluate[fH]
Plot[{f[x], fHat[x]}, {x, -4, 4}]


           fsN[n_] := FourierTrigSeries[f[x], x, n, FourierParameters -> {1, 2 Pi/periodos}];
functList = Table[fsN[n], {n, 1, 4}] // Simplify
Plot[{f[x], Evaluate[functList]}, {x, 0, periodos},  PlotLegends -> functList]

Αυτόματοι συντελεστές

Η εντολή `FourierCoefficient` αναφέρεται στην εκθετική μορφή της σειράς Fourier: $F(x)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}(c_n e^{\frac{2n\pi x i}{L}})$ Οπότε θα χρησιμοποιήσουμε τους μετασχηματισμούς: - $a_0 = c_0$ - $a_n = c_n+c_{-n}$ για $n>0$ - $b_n =(c_n-c_{-n})i$ για $n>0$ ώστε να συμπληρώσουμε τους όρους του τύπου: $F(x)=a_ 0+\sum_{n=1}^{+\infty}(a_n \cos {\dfrac{2n\pi x}{L}}+b_n \sin {\dfrac{2n\pi x}{L}} )$.


                   ypologismosAn[synart_, periodos_, n_] := 
 Which[n > 0, 
  Simplify[
   FourierCoefficient[synart, x, n, FourierParameters -> {1, 2*Pi/periodos}] + 
   FourierCoefficient[synart, x, -n, FourierParameters -> {1, 2*Pi/periodos}]], n == 0, 
  1/2 Simplify[
    FourierCoefficient[synart, x, n, FourierParameters -> {1, 2*Pi/periodos}] + 
     FourierCoefficient[synart, x, -n, FourierParameters -> {1, 2*Pi/periodos}]]]
ypologismosBn[synart_, periodos_, n_] := 
 Simplify[
  I*FourierCoefficient[synart, x, n, FourierParameters -> {1, 2*Pi/periodos}] - 
   I*FourierCoefficient[synart, x, -n, FourierParameters -> {1, 2*Pi/periodos}]]
ypologismosAn[f[x], 6, 0]
ypologismosAn[f[x], 6, 1]
ypologismosBn[f[x], 6, 1]

Συντελεστές στο χέρι


                   syntelestes[synart_, periodos_, k0_] := 
 Module[{f = synart, L = periodos, k = k0, a, b}, 
  a[n_] := 
   Which[n == 0, (1/L)*Integrate[f, {x, -L/2, L/2}], n > 0, (2/L)*Integrate[f*Cos[(2 n*Pi*x)/L], {x, -L/2, L/2}]];
  b[n_] := (2/L)*Integrate[f*Sin[(2 n*Pi*x)/L], {x, -L/2, L/2}];
  {Simplify[a[k]], Simplify[b[k]]}]
syntelestes[f[x], 6, 0]
syntelestes[f[x], 6, 1]
syntelestes[f[x], 6, 2]
syntelestes[f[x], 6, 3]